Signals and Systems תוכרעמו תותוא

Transcript

1 Sgls d Ssms אותות ומערכות רשימות להרצאה..5 גרסה מרצה: אראל גרנות

2 אותות ומערכות אותות (סיגנלים) רציפים ובדידים (דיסקרטים) ניתן לחלק את רוב מקורות האינפורמציה שלנו על העולם לאותו בדידים ואותות רציפים: למשל אם נמדוד את גלי הקול הנפלטים מאיזשהו כלי נגינה אנו צפויים לראות משהו הדומה ל: דוגמא לאות רציף (couous) 4 3 Curr (ma) m (msc) שניתן בקלות לייצרו בעזרת תוכנת מטלב (הסטודנט מתבקש לכתוב אותה ולהריץ במחשב) [:.:*p]; w; w3.; w3.87; s(w*)+*cos(w*)+.3*s(w3*); plo() lbl('m (msc)'); lbl('curr (ma)'); למעשה כשרשמנו את התוכנית יצרנו משתנה בדיד אבל נתנו לו להתקדם בקפיצות קטנות. שלא ניתן לראותן בגרף. אם יש לנו את ה Smbolc oolbo נוכל ליצור מתשנים רציפים אמיתיים (לפחות לפי הגדרה) באופן הבא: sm('s(w*)+*cos(w*)+.3*s(w3*)') ; subs('w'); subs('w'3.);

3 3subs('w3'.87); zplo(3[ *p]) lbl('m (msc)'); lbl('curr (ma)'); שימו לב שהיינו צריכים להשתמש בפונקצית ההצבה subs כדי להציב ערכים וכן להשתמש בפקודת ה zplo (אין שום קשר לעזים) כדי לשרטט את הפונקציה הרציפה (שימו לב שציינו רק ערכי התחלה וסיום ולא את הקפיצות). לעומת האותות הרציפים נוכל בנקל לחשוב על אותות לא רציפים כגון מדד ת"א בברוסה. שם נראה משהו המזכיר: Id (pos) m(hours) בעזרת התוכנית הקצרה %% Dscr sgls N6; :N; +*rd(n); sm(); lbl('m(hours)''fom''ms w rom'); lbl('id (pos)''fom''ms w rom'); פה השתמשנו בפונקציה היוצרת מספרים אקראיים rd ובפונקציה שמציגה סדרת נתונים בדידים. sm כמו כן שינינו את הגופנים (פונטים).. () אנו נסמן אותות רציפים כתלויים במשתנים רציפים (כגון זמן ) באופן הבא: ולעומתם נסמן משתנים בדידים התלויים במשתנים בדידים (כגון מס' ימים ( באופן הבא:. [] 3

4 האנרגיה של אות (סיגנל) כידוע ההספק הנפלט (באמצעות קרינה) מנגד שווה למכפלת המתח עליו בזרם העובר דרכו כלומר p () V ()() I () E() p V R () כלומר ההספק מתכונתי (פרופורציונאלי) לריבוע המתח. כמו כן ההספק של גל אלקטרומגנטי מתכונתי לריבוע השדה החשמלי (והמגנטי) ( ) באופן דומה כשגוף נע בתוך תווך המתנגד לתנועתו ע"י יצירת כוח חיכוך המתכונתי למהירותו (המקרה הפשוט והנפוץ ביותר) f αv הרי ההספק הדרוש כדי להניע אותו הוא מתכונתי לריבוע המהירות p () fv() αv () זהו אינו קורס בפיזיקה ולכן נסתפק בדוגמאות אלו ונקווה שהן מהוות תמריץ מספק להגדיר את ההספק (הרגעי) של אות כריבוע שלו ואת האנרגיה שלו כאינטגרל על הספק זה בזמן. כלומר אם נתון לנו אות רציף כלשהו המשתנה בזמן הרי האנרגיה הכללית שלו באינטרוול הזמן תוגדר E d () E [] באופן דומה אם נתון לנו משתנה בדיד [ ] נגדיר את האנרגיה שלו באופן הבא: E E מכאן גם נובע שניתן בקלות להגדיר את האנרגיה הכללית של אות גם בתחום אינסופי. נעשה זאת ע"י השימוש בסימן האינסוף אבל תמיד נזכור שהכוונה למעשה לגבול הבא: ולאות בדיד d () lm d () + N [] lm [] N N E כאותות בעלי אנרגיה סופית (כמובן). אם נגדיר אותות שעבורם ביטויים אלו סופיים כלומר < הביטויים הללו (האינטגרל או הסכום) לא מתכנסים הרי האנרגיה של האותות היא אינסופית. P lm d () באופן דומה נוכל להגדיר את ההספק הממוצע בזמן של האותות: לאות רציף: 4

5 ולבדיד: P lm N N + N N [] שימו לב כדי שלאות תהיה אנרגיה כוללת סופית ההספק הממוצע שלו חייב להיות אפס כי P E lm וזה הרי ברור כי אם ההספק הממוצע אינו אפס משמע שבממוצע כל הזמן נכנסת אנרגיה למערכת ומכאן ברור שהאנרגיה הכוללת לא יכולה להיות סופית. העתקות (טרנספורמציות) על המשתנים הבלתי תלויים ו ) במקרים לעיל). בהינתן איזשהו אות למשל רציף ( ) ניתן לבצע מספר טרנספורמציות לינאריות פשוטות אך חשובות על המשתנה. בופן כללי האות ישתנה מ ( ) ל (β. ) α + בכל מקרה לכל טרנספורמציה מהצורה הזאת הצורה של האות תישמר היא פשוט יכולה לזוז להתהפך או להתכווץ (או להתרחב). תפקיד הפרמטר β הוא כמובן לבצע הזזה בזמן shf) ( m תפקיד הערך המוחלט של הפרמטר α הוא כמובן לכווץ או להרחיב את האות sclg) ) m בעוד ששינוי סימנו (מחיובי לשלילי ולהיפך) גורם להיפוך האות בזמן rvrsl) ). m ניתן לראות את שלוש הדוגמאות בגרפים הבאים:.5 Orgl sgl f().5 m rvrsl f(-) f().5 f(-) m m shf f(-) m m sclg f(a).5 f(-).5 f(a) m m כדי לכתוב את התוכנית שביצעה גרפים אלו רצוי ללמוד קודם כיצד יוצרים במטלב פונקציה. ראשית פותחים קובץ חדש בשם הפונקציה הרצויה במקרה שלנו f.m (הסיומת m היא כידוע מציינת שמדובר בקבץ טקסט של מטלב) ובתוכה נרשום את הפונקציה הרצויה 5

6 fuco ouf() ou(s()+cos()).*p(-.5*.^); המילה fuco היא מילה שמורה ויש להתחיל עמה. לאחר שיצרנו את הקובץ הזה נוכל לכתוב את התוכנית העיקרית ולשם כך נעזר בפונקציה שיוצרת תתי גרפים : subplo %%% Lr rsformos [-5:.:5]; subplo(); plo(f()); lbl('m'); lbl('f()'); l('orgl sgl f()'); subplo(); plo(f(-)); lbl('m'); lbl('f(-)'); l('m rvrsl f(-)'); subplo(3); 3; plo(f(-)); lbl('m'); lbl('f(-)'); l('m shf f(-)'); subplo(4); A.5; plo(f(a*)); lbl('m'); lbl('f(a)'); l('m sclg f(a)'); סיגנלים מחזוריים: אות רציף מוגדר כמחזורי כאשר קיים כלשהו כך ש ) ( + ) ( במקרה זה הוא זמן המחזור באופן דומה אות בדיד מוגדר כמחזורי כאשר קיים N כלשהו כך ש + N [ ] [ ]. O סיגנלים זוגיים (סימטריים) ואי-זוגיים: ) ( ) ( או ] [ ] [ [ ] [ ] או ( ) ( ) אות מוגדר זוגי כאשר אות מוגדר אי-זוגי כאשר עובדה מעניינת היא שכל סיגנל ניתן לפרק לסכום של אות זוגי ואות אי-זוגי. כלומר / ו + / לדוגמא כאשר. () [ () ( )] E ( ) [ ( ) ( )] () () ( ) E + O 6

7 לדוגמא: Ev fuco Odd fuco.5 f()f().5 [-5:.:5]; f(.^+).*p(-.^); f.^3.*p(-.^); m שבוצע בעזרת התוכנית (שימו לב לשימוש במקרא ( lgd plo(f'r'f'b''lwdh'); lbl('m'); lbl('f()f()'); lgd('ev fuco''odd fuco'); אותות טריגונומטריים ואקספוננציאלים (מעריכיים) הפונקציה החשובה ביותר בכל דיון העוסק במערכות לינאריות (על כך נדבר בהמשך) היא הפונקציה המעריכית (אקספוננציאלית) עם פרמטרים מרוכבים.(compl) C ( ) כאשר הוא פרמטר ממשי חיובי הפונקציה היא אקספוננט עולה וכאשר הוא פרמטר ממשי שלילי הפונקציה היא אקספוננט דועך. כאשר הוא פרמטר מדומה הרי הפונקציה היא פונקציה מחזורית (לא עולה ולא דועכת) למעשה במקרה זה נוכל לכתוב ( ) C ( + ) () C C ( + ) ואז מתקיים: 7

8 π דהיינו כאשר. וזה יקרה כמובן אם הארגומנט של האקספוננט הוא כפולה של מספר שלם ב זמן המחזור הקצר ביותר הוא: π f כאשר f היא התדירות של האות ו היא התדירות הזוויתית. דרף אחרת לראות זאת היא ע"י שימוש בקשר של אוילר cos + s ( ) ( ). π f והרי שני הרכיבים (הממשי והמדומה) לשניהם יש אותו זמן מחזור כדי לשרטט אותו נפריד אותו לרכיב הממשי והמדומה: cos R { } ( ) { Im } s ( ) 5 f()p() < 5 f()p() > f()r{p()} > f()im{p()} > בעזרת התוכנית [-5:.:5]; subplo(); plo(p(-)); l('f()p() <'); subplo(); 8

9 plo(p()); l('f()p() >'); subplo(3); plo(rl(p(*))); l('f()r\{p()\} >'); subplo(4); plo(mg(p(*))); l('f()im\{p()\} >'); שימו לב כי לכל המקרים האלו של הפונקציות המעריכיות (ובכלל זה הרכיבים שלו סינוס וקוסינוס) האנרגיה הכללית היא אינסופית. ההספק הממוצע לעומת זאת סופי רק אם המקדם הוא מדומה. אותות מערכיים עם מקדמים מרוכבים ( ) C באופן כללי לאות המעריכי אם ו יכולים המקדמים להיות מרוכבים. C C θ r + הרי + s + θ r+ ( +θ) r ( ) C C C [ cos( + θ) ( )] כלומר הערך המוחלט של C קובע את גודל המשרעת (האמפליטודה) והפזה שלו ) θ ( מסיטה את הסיגנל בפזה קבועה. המקדם r קובע את קצב הדעיכה (או גדילה) האקספוננציאלית של האות ואילו את התדירות הזוויתית של האות. כלומר קיבלנו אות שמבצע תנודות תוך כדי דעיכה (או גדילה) 3 C C θ r+ R[C ] Im[C ] () m שרטוט זה נוצר ע"י התוכנית הפשוטה 9

10 [-.:.:]; C*p(*.); -+*5; C*p(*); plo(rl()mg()); grd o lgd('r[c^{}]''im[c^{}]'); l('c C ^{\h} r+\omg') lbl('m'); lbl('[]');. כלומר האקוויוולנט הבדיד של אות α α β [ ] C [ ] במקרה של אות בדיד נוכל לרשום באופן דומה β אלא שנהוג בדר"כ לסמן α וכך לקבל Cα אקספוננציאלי רציף הוא למעשה סדרה הנדסית! C C θ והאות הכללי עבור מקדמים מרוכבים: β ( +θ) [] C C α C α [ cos( + θ) + s( + θ) ] 4 R{[]} C cos[(θ+)] α נציגו בגרף מתאים 3 R{[]} :45; C*p(*.);.9*p(*.35); C*.^; sm(rl()) lbl(''); lbl('r\{[]\}'); l('r\{[]\} C cos[(\h+\omg)] \lph ^')

11 hold o 3bs(C)*bs().^; plo(3'r:'-3'r:'); כפי שניתן לראות בגרף הצגנו את הגרף הבדיד ואת המעטפת שהיא אקספוננט דועך (הקו המקווקוו האדום) לשם כך השתמשנו בפקודה. hold o פונקצית מדרגה ופולס יחידה לאות בדיד u δ [] [] < פונקצית מדרגה בדידה מוגדרת כ ואילו פולס יחידה.5 u[] δ[].5 %% h u mpuls d u sp fucos -6:6; subplo(); sm(u()); s([-6 6 ]); שנכתב ע"י

12 lbl(''); lbl('u[]'); subplo(); sm(dela()); s([-6 6 ]); lbl(''); lbl('\dl[]'); ובעזרת הפונקציות: fuco oudela() ou(); fuco ouu() ou(>); (שנכתבו כמובן בשני קבצים שונים מהתוכנית הראשית) שימו לב כיצד ניצלנו כאן את העובדה שהתשובה לשאלה בוליאנית היא או ולכן ביטוי כמו (יש צורך בשני כדי להבדיל מפעולת ההצבה 5 למשל) יניב אם הערך של הוא אפס ויניב אפס בכל מקרה אחר וזה בדיוק מה שאנו צריכים. שימו לב כי הקשר בין שתי פונקציות אלו (היחידה והמדרגה) הוא שפונקצית היחידה מתקבלת ע"י ביצוע פעולת הפרשים על פונצית המדרגה: δ u u [ ] [ ] [ ] (שימו לב שפעולה זו מזכירה פעולת נגזרת...על כך בהמשך) ובאופן דומה את פונקצית המדרגה נקבל ע"י סכום רץ על פונקציות יחידה: u δ u [] δ[ m] [] δ[ ] + u[ ] δ[ ] + δ[ ] + u[ ] [] + δ[ ] + δ[ ] + Lδ[ ] זה נובע ישר ממשוואה קודמת: u [] δ[ ] באופן דומה ניתן לרשום: ממצא מאוד חשוב על פונקצית היחידה הוא כי מתקיים הקשר עבור כל אות שהוא: δ δ [ ] [ ] [ ] [ ] או

13 [][ δ ] [ ] δ[ ] פונקצית מדרגה fuco) (Hvsd ופולס יחידה - הלם ) dl Drc s (fuco לאות רציף באופן דומה ניתן להגדיר פונקצית מדרגה לאות רציף: u () < הערה: בספרים שונים מוצאים הגדרות שונות למה שקורה בדיוק בנקודה. () למעשה מה שצריך לעשות על מנת לקבל מפונקציה זו את פונקצית האלם הוא לגזור אותה. כי השקול הרציף לפעולת הפרשים היא פעולת גזירה. מעשית יש בעיה לגזור פונקציה זו מכיוון שיש בנקודה אי רציפות ולכן נגזרת פשוטה δ du( ) d אינה מוגדרת היטב. אחת הדרכים להתמודד עם בעיה זו היא ליצור פונקציה שמקרבת את פונקצית המדרגה ע"י שיפוע חד. כלומר במקום מדרגה חדה יש שיפוע באורך של (בשרטוט. ) ולכן השיפוע הוא (טנגנס הזווית) /..u נסמן פונקציה זו ב ().5 u () δ () %% h fucos u_dl() 3

14 %% d dl_dl() D.; -.5:.:; ud/d.*(>).*(<d)+*(>d); subplo(); plo(ud'lwdh') s([-.5.5]); lbl(''); lbl('u_{\dl}()') subplo(); dd/d.*(>).*(<d); plo(dd'lwdh') s([-.5 6]); lbl(''); lbl('\dl_{\dl}()') שימו לב קיבלנו לאחר גזירה פונקצית יחידה שנראת ככה: δ () du d () / < > ככל שנקטין את נקבל פונקציה הקרובה יותר ויותר לפונקצית ההלם האמיתית. באופן מתמטי יש לרשום: δ ( ) lmδ ( ) אלא שככל ש קטנה הערך שלה בסביבת האפס גדל (כמו /). בגבול נקבל פונקציה שהיא אפס בכל מקום אבל אינסוף בנקודה אפס. משרטטים פונקציה זו כמו חץ הממוקם בנקודה וליידו מספר המציין את השטח מתחת לפונקציה..8.6 δ()

15 זהו אופיין מאוד חשוב של פונקצית הלם (פונקצית דלתא של דירק) שלמרות שערכה בנקודת המקסימום הוא אינסוף האינטגרל עליה (כלומר השטח מתחת לפונקציה) הוא תמיד. כמובן ניתן להכפיל אותה בקבוע ואז לקבל שטח שונה. dδ () () dδ u ε ε () d' δ( ' ) () dδ ולמעשה לכל מספר > ε והקשר לפונקצית מדרגה: מתקיים: הרעיון מאחורי אינטגרל זה הוא פשוט: כל עוד לא כללנו באינטגרל את הנקודה האינטגרל עליו הוא וברגל שכללנו את הנקודה באינטגרל (כי שם נמצאת הפונקציה) נקבל תמיד וזו הרי פונקצית מדרגה. u () d' δ( ' ) עוד קשר חשוב: ( ) וכמובן: לכל פונקציה רציפה מתקיים: ( ) δ( ) ( ) δ( ) ( ) δ( ) ( ) δ( ) סיגנלים סינגולריים חשובים נוספים יש להזכיר בנוסף לפונקצית ההלם ופונקצית המדרגה גם את הפונקציות החשובות הבאות: פונקצית ערך מוחלט < > שימו לב כי הנגזרת שלו מקיימת: 5

16 d d u () u( ) פונקצית המלבן d rc d () δ + δ rc () < / > / שנגזרתו מקיימת: המשולש r () / < / > / rc () r () נוצרו בעזרת התוכנית 6

17 %%% Spcl fucos -3:.:3; bs(); subplo(3) plo('lwdh'); s([-3 3 3]); lbl(''); lbl(' ''fosz'6); subplo(3) A; zbs()<a/; plo(z'lwdh'); s([-3 3 3]); lbl(''); lbl('rc_()''fosz'6); subplo(33) A; (bs()<a/).*(-bs()*/a); plo('lwdh'); s([-3 3 3]); lbl(''); lbl('r_()''fosz'6); נורמות של אות את הכמות שבה אות סוטה מאפס ניתן להעריך ע"י חישוב הנורמה שלו () () d () () d () d () יהי אות אזי הנורמה הנפוצה ביותר היא הנורמה האוקלידית הנורמה הלינארית או נורמת ערך המוחלט היא: ושימושית גם נורמת המקסימום: { } () () d m () חשוב: הגבולות של האינטגרלים האלו הם אינסופיים רק עבור אותות סופיים. אם האותות מחזוריים אינסופיים אזי האינטגרל מתבצע רק על זמן מחזור לדוגמא נורמה אוקלידית תראה: 7

18 () () d מכפלות פנימיות ומציאת קירובים לפונקציות מכפלה פנימית היא למעשה מעין מכפלה סקלרית והיא מסומנת בדר"כ ע"י סוגריים אלכסוניים. כמו שלווקטור יש מכפלה סקלרית שמשמעותה A B A B A B + A B + L A B () () () ( ) d j A B כך ניתן להגדיר גם לאות רציף מכפלה פנימית (לאותות ממשיים): גבולות האינטגרל יקבעו לפי צורת האות. אם האות סופי אז הגבולות הם גבולות האות ואם הוא מחזורי אינסופי אזי האינטגרל יתבצע על פני זמן מחזור בודד. ממש כמו במקרה הבדיד המכפלה הפנימית היא לינארית למרכיביה: () + Bz() () A () () + B z( ) ( ) A () () () () וכמובן (לאותות ממשיים בלבד) כאשר המכפלה הפנימית מתאפסת האותות נחשבים אורתוגונליים ממש כמו מכפלה סקלרית בין שני ווקטורים ניצבים. הן אותות אורתוגונלים משום ש כך הפונקציות rc ו 3 rc () () () () d 3 d ( ) ( ) ( ) ( ) () () () ( ) * d () () () () * כאשר הסיגנל מרוכב יש להשתמש בהגדרה שונה במקצת של מכפלה פנימית: ואז מתקיים: 8

19 תוכרעמו תותוא תונרג לארא 9 תותוא בוריק תואה תא ברקל םיניינועמ ונאש רמאנ ( ) םירחא ותוא ינש לש תיראניל היצניבמוק תרזעב () ו ( ).?תאז השענ דציכ השעמל םירטמרפ ינש שפחל םיצור ונא ו b לרגטניאהש ךכ () () () [ ] d b + היהי ילמינימ.האיגשה תא ךירעמ הז לרגטניא יכ קוידב אוה לרגטניאה לבא () () () [ ] () () () () () () () () () () () () () () () () () () b b b b b d b ילמנימ ךרע לבקי הזש ידכ יפל רוזגנ ו.לבקנש תואוושמה יתש תא ספאנו b תואוושמ יתש ונל ויהי ךכ.םימלענ ינשו () () () () () () () () () () () () + + b db d b d d :האבה תואוושמה תכרעמ תא וא 3 V V b M M M M רשאכ 3 M M M V V אמגודל תואה תא ראתל תנמ לע ( ) ( ) ( ) rc / cos π תועצמאב () () rc ו () ( ) rc. :בשחנ ( ) π π 4 / cos d V ( ) ( ) / cos 3 π π π d V d M 3 d M d M

20 / 3 / 3 / 5 b π ( π 8) / π..98 ואכן מהשרטוט הבא ניתן.3.98 הפיתרון.3 b לראות שהקירוב הזה מצויין. והקירוב הטוב ביותר הוא. cos(π) ppromo בעזרת התוכנית %% Appromos ppr.m M[ /3; /3 /5 ]; v(/p)*[ (p^-8)/p^]'; bm\v; [-:.:]; plo(cos(p*/)b()+b()*.^) lgd('cos(\p)''ppromo'); lbl('') שימו לב כיצד רושמים מטריצות וכיצד פותרים משוואות בדרך מאוד נוחה.(bM\v;)

21 תוכרעמו תותוא תונרג לארא דואמ המוד ךרדב לועפל שי םיבכורמ תותואל המיאתמ תימינפ הלפכמב שמתשהל בל םישל שי םעפהש אלא ( ) ( ) () ( ) d *. היצקנופה תא ברקל יללכ ןפואב םישפחמ ונא םא ( ) תואבה תויצקנופה לש יראנילה םוכסה י"ע () () ( ) N K :אבה ןפואב () N. המוד ןפואב תיללכה האיגשה תא בשחנ םעפהש אלא.טלחומה ךרעה עוביר לש המינימ שורדנ () () () () () () d N m m m N m N N m m N N N * * יפל רוזגנ * m יפל הריזג יכ בל ומיש) (תודומצ ךא תואוושמה ןתוא תא טושפ בינת N m m m * :לבקנו ספאל הוושנ N m m :תיצירטמ הרוצב וז תואוושמ תכרעמ םושרל ןתינ N N N N N N M M L O M M L תויצקנופה הבש תכרעמב ( ) ( ) ( ) N K.תוילנוגותרוא רמולכ () () j for j לבקנ N N N N M M L O M M L טושפ אוה ןורתיפה ןכלו

22 תוכרעמו תותוא תונרג לארא N N N N K :אמגוד תויצקנופה שולש תרזעב ( ) ( ) ( ) 3 π π היצקנופה תא ברקל שי () ( ) rc :ןורתיפ יגוזו ישממ לנגיסהו תויה.תויגוזו תוישממ תויצקנופ לש םוכסמ קר לבקתהל לוכי אוה יכ ןיבהל ןתינ רשי היצקנופהו עובקה הז ונלש הרקמב ( ) π cos לש םוכסה ןבומכ איהש) () π ו () π ( זאו.(םייתש קרו) תוישממ תויצנופל ונדמלש תמדוקה הטישב שמתשהל רשפא רשפא דיימ תאז םיאור אל םא ךא.האבה הרישיה הטישב רותפל אוה רוזחמהש ןוויכ מ רוזחמה לע םילרגטניא עצבנ דע. :הצירטמה ירבא תא בשחנ : ל םלוכ םיווש ןוסכלאב םירביאה π π * d d d π π * d d d * 3 3 d d םלוכ םיספאתמ םירחאה םירביאה וליאו.(תוילנוגותרוא תויצקנופה יכ) :אמגודל π π π * d d d ןכ ומכ / / * d d π π / / 3 d ןכל π π וא ( ) cos + π π + + π π π [-:.:];

23 bs()<.5; p(/p)*cos(p*)+/; plo(p) lbl(''); lbl('()'); lgd('()''p()(/\p)cos(\p)+/');. () p()(/π)cos(π)+/.8.6 () תכונות בסיסיות של מערכות מערכת יכולה להיות כל מערכת פיזיקלית-הנדסית שתיתכן אפילו הבנויה מתת-מערכות המקבלת אות כקלט ומייצרת אות כפלט. *** מערכות עם ובלי זיכרון מערכת נקראית "מערכת ללא זיכרון" אם המוצא שלה (ה"פלט") תלוי אך ורק בכניסה שלה (ב"קלט") באותו זמן (בהווה). למשל המערכת הבדידה 5 3 [ ] [ ] [ ] דוגמא למערכת רציפה חסרת זיכרון היא נגד שהכניסה שלה מוגדרת כמפל המתח עליו (על הנגד) והמוצא שלה הוא הזרם דרכו. במקרה זה לפי חוק אוהם: / ( ) ( ) R בניגוד למערכות אלו הרי דוגמאות למערכות עם זיכרון הן:. 5 או מערכת רציפה בעלת זיכרון יכולה להיות דוגמא למערכת בדידה עם זיכרון: + קבל אך שהמתח הוא הפלט והזרם הוא הקלט: [ ] [ ] [ ] () C d' ( ' ) 3

24 הפיכות (vrbl) ומערכות הפוכות ssms) (vrs מערכת נקראת הפיכה אם קלט שונה גורר בהכרח פלט שונה. כי הרי אם שני קלטים שונים יוצרים אותו פלט לא ניתן יהיה ליצור מערכת הפוכה. לדוגמא המערכת ( ( ( ( + b היא מערכת הפיכה כיוון שניתן ליצור מערכת חדשה w () [ () b] /. w () () ומתקבל () ו () היא לא הפיכה כי שני קלטים שונים. דוגמא למערכת לא הפיכה היא ( ) + ( ) יובילו לאותה תוצאה. המערכת ההפיכה (חלקית) לקלט חיובי w ( ) ( ) תוביל בחזרה ל () () w. () > אך ורק סיבתיות (cusl) מערכת נקראית סיבתית כאשר המוצא oupu) ( שלה תלוי אך ורק בקלט שלה בזמן הווה או בזמן עבר אך לא בזמן עתיד. כלומר המוצא לא "מנבא" את העתיד של הקלט. 3 מערכת סיבתית יכולה להיראות: ] [ ] [ ] [ אבל לא להיראות כמו המערכת הלא סיבתית הבאה: ( ) ( ) יציבות (sbl) ניתן להגדיר מערכת כיציבה כאשר התגובה (הפלט) שלה לקלט קטן אינו מתבדר. למשל תנודות של כדור בקערה היא מערכת יציבה אך כדור בקערה הפוכה היא בוודאי מערכת לא יציבה. מערכת בלתי יציבה מערכת יציבה ( ) ( ) דוגמא נוספת: המערכת S : היא יציבה. ניתן לראות זאת באופן הבא: לכל סיגנל כניסה חסום. < < B נקבל כי גם היציאה (הפלט) חסומה () < B לעומתה המערכת ( ) S : () d' ( ' ) אינה יציבה שכן גם עבור סיגנל חסום () B. () נקבל 4

25 קביעות בזמן vrc) (m מערכת קבועה בזמן אם כל מאפייניה בלתי תלויים בזמן. אם לדוגמא אנו מבצעים מדידות על מערכת של קפיצים בכל זמן שנבצע את הניסוי נקבל את אותן התוצאות. אבל אם הקפיצים נחלשים עם הזמן נקבל שקבוע הקפיץ תלוי בזמן (קטן) ולכן המערכת אינה קבועה בזמן. () הרי היא הוא () מתמטית קל לבדוק אם מערכת תלויה בזמן. אם נתונה מערכת שהפלט שלה לקלט קבועה בזמן אם לכל זמן היא תוציא + עבור קלט. + ( ) ( ) לדוגמא: ( S : ) ( p[ ) היא מערכת קבועה בזמן. כי אם נכניס לה סיגנל חדש המוזז בזמן המערכת ] ( + ) p[ ( + )] אבל מצד שני ( ) p[ ( ) ] p[ ( + )] נקבל () ( + ) כנדרש. למעשה דוגמא זו טריוויאלית שכן התלות של כלומר הפלט של המערכת מקיים ) ( ) ( + הפלט בזמן הוא עקיף בלבד (דרך הקלט בלבד). דוגמא הפוכה: S היא מערכת שאינה קבועה בזמן. על מנת לשלול את היותה בלתי תלויה : ( ) p[ ( ) המערכת ] בזמן נבחר סיגנל כניסה שהפלט שלו תלוי בתזוזה בזמן של אות הכניסה. נבחר למשל ) ( ) u( (פונקצית (hvsd נקבל < () ( ) u( ) כעת נבחר ונקבל () <.( < ( ) ( ) אבל כמובן ש (רואים את בקלות באזור לינאריות (lr) מערכת היא לינארית אם היא מקיימת את דרישות הסופרפוזיציה: אם הקלט הוא סכום משוקלל של אותות אז הפלט הוא סכום משוקלל (עם אותם משקלים) של הפלטים של כל האותות. באופן מתמטי: ( ) b ( ). + ( ) ( ) () ( ) S : ו S : אם ( ) + b יהיה אז הפלט של סיגנל הכניסה ( ( כאשר ו b הם קבועים מרוכבים כלשהם. 5

26 ( ) ( ) ( ) d 3 לדוגמא המערכת / S : + d היא כמובן לינארית (שימו לב כי נגזרת ואינטגרל הן פעולות לינאריות) () () π היא לא. נראה זאת ע"י בחירה של הסיגנלים S : ( ) s[ ( ) אך המערכת ] והמקדמים / 4 b ( ) ( ) [ ( ) ] s π s ( ) ( ) [ ( ) ] s π s ( ) + b ( ) ( ) [ ( ) + b ( ) ] s( π / ) s 3 ( ) + b ( ) למרות ש מערכות לינאריות בלתי תלויות בזמן LI) (Lr m Ivr בקורס הזה נעסוק בעיקר במערכות LI גם משום שיש בעיות רבות בפיזיקה ובהנדסה שניתות לתיאור ע"י מערכות כאלו וגם בגלל שיחסית קל לנו מאוד לטפל בהם. במידה מסויימת זה אולי מזכיר את אותו אדם המחפש את המפתח מתחת לפנס אבל האמת היא שמתחת לפנס הזה הקרוי LI ניתן למצוא אוצרות לא קטנים. הפשטות של הטיפול בהם מעודד אותנו לנסות לתאר מערכות מורכבות מאוד כ LI גם אם לכאורה ההשוואה לא מוצדקת. בפרק זה נראה איך ניתן לתאר כל סיגנל (אות) כסופרפוזיציה (סכימה) של הלמים שמגיעים בזמנים שונים. נחקור כיצד מגיבה ה LI לאות הלם בודד ואז נוכל לדעת מה התגובה של המערכת לכל סיגנל שהוא! בניית כל סיגנל בדיד כסכום של פולסי- יחידה כפי שמשתמע מהגדרת פולס היחידה ניתן לרשום כל סיגנל באופן הבא: [] L + [ ][ δ + ] + [ ][ δ + ] + [ ] δ[ ] + [ ] δ[ ] + [ ] δ[ ] + L [] [][ δ ] δ[ ] כלומר רשמנו את האות כסכום של פולסי יחידה. או בכתיבה אחרת: כעת הבא נניח כי מערכת לינארית שלנו מגיבה לכל פולס יחידה כך שהפלט (התגובה) של. h מכאן ברור כי התגובה (הפלט) של האות [ ] הוא הוא לא אחר מאשר: [] [][ δ ] 6

27 [] [] h []. כדי לקבל תוצאה זו השתמשנו בתכונת הלינאריות של המערכת (התגובה של סכום שווה לסכום התגובות). h כעת נשתמש בעובדה שמערכת LI הוא בלתי תלויה בזמן. משום כך התגובה שלה לא צריכה להשתנות עקב שינוי בזמן של פולס הכניסה. כלומר אם התגובה של δ היא והתגובה של δ היא [] h [] [ ] הרי שתי התגובות צרכות להיבדל רק בשינוי הזמן שלהן (כי המערכת לא השתנתה!) כלומר [] h [ ] h [ ] ולכן אין צורך באינדקס תחתון (אפס במקרה זה). מעתה נסמן את תגובהת מערכת LI. h כעת נוכל לרשום: לפולס יחידה ב [] [ ] h [] [][ h ] זו נוסחה מאוד חשובה והיא נקראית סכום הקונבולוציה כי מה שרשום בצידה הימני של המשוואה הוא הקונבולוציה של ו h ומסומן באופן סימבולי בדרך כלל ע"י כוכבית: [] [] h[] [][ h ] * [ ] [] דוגמא יפה עמ' 8 () ( τ)( δ τ) dτ באופן דומה עבור אות רציף: (τ )δ הרי נוכל לרשום את תגובת () ( τ) h( τ) dτ () h() * ( ) אי לכך אם h τ הוא פונקצית התגובה של ה LI לאות ההלם המערכת כולה ל סיגנל הנכנס : ( ) זהו אינטגרל הקונבולוציה.. h() כלומר מכאן למדנו כי מערכת LI מאופיינת במלואה ע"י פונקצית התגובה שלה לפונרצית הלם: ()h כדי לדעת איך המערכת תגיב לכל פולס שהוא! די לדעת את בגלל חשיבות נוסחאות אלו נסכמן: 7

28 [] [][ h ] [] * h[] () ( τ) h( τ) dτ () h() * חשבו () s( ) u() אם נתון פולס כניסה. h () ( ) ( ) h( ) ( τ) דוגמאות : עמ' 98 למשל נתונה מערכת בעלת תגובת הלם: את הפלט של המערכת. תשובה: במקרה זה נצטרך כמובן לחשב את הקונבולוציה של ( ) bu( ) לכן נקבל ביטוי שונה מאפס רק כאשר עם. s u שימו לב כי bs < τ < ()( τ h τ) bs( τ)()( u τ u τ) ls >. במקרה זה () * h() ( τ) h( τ) bs( τ) dτ [ cos( ) ] b () [ cos( ) ] u() b לכן הפיתרון הכללי הוא d d () + 3 () () דוגמא ממשוואות דיפרנציאליות: נתונה המד"ר הבאה: לפי מה שלמדנו הרי הפתרון הוא קונבולוציה של תגובת ההלם של המערכת (המד"ר) ואות הכניסה. במקרה שלנו (עבור מד"ר) תגובת ההלם ידועה כפונקצית גרין. לכן dh d () + 3 h () δ(). h כלומר h () B A 3 3 ( ) A 3 < > כיצד פותרים זאת? תחילה מחשבים עבור. במקרה זה הפתרון הוא מיידי נסמן כדי למצוא את המקדמים נבצע אינטגרל על המשוואה על תחום מאוד צר סביב האפס כלומר 8

29 ε ε h dh d () + 3 h() d δ() d () ε h( ε) A B ε ε נקבל כלומר h 3 () u() הפיתרון היחיד שלא מתבדר הוא A. B קיבלנו לכן לכן הפיתרון הוא 3( τ) 3 3τ () dτ()( τ h τ) dτ() τ u( τ) ( τ) dτ שימו לב כי מצאנו פיתרון כללי לכל סיגנל כניסה. חשוב אבל לזכור כי למרות שזה פיתרון הוא אינו הפיתרון היחיד (כזכור למד"ר ניתן להוסיף פיתרון הומוגני). ( ) תכונות הקונבולוציה קומוטטיביות (Commuv) [] * h[] [][ h ] h[][ ] h[] * [] את השיוויון האמצעי מקבלים ע"י הסימון וההצבה. s בגלל שהסכום הוא ממינוס אינסוף לאינסוף התוצאה מתקבלת במישרין. [] *( h [] + h [] ) [] * h [] + [ ] h [ ] * () * ( h () + h () ) ( ) * h ( ) + ( ) h ( ) * דיסטריבוטיביות (Dsrbuv) לבדיד: לרציף: אסוציאטיביות (Assocv) לאות בדיד 9

30 [] *( h [] * h [] ) ( [] * h [] ) h [ ] * () * ( h () * h () ) ( () * h () ) h ( ) * לאות רציף על תכונות של מערכת LI בסביבת [] [][ h ] מערכות LI עם ובלי זיכרון מהתאור של מערכת LI בעזרת קונבולוציה (בעזרת פולס התגובה להלם) כזכור המערכת היא חסרת זיכרון כאשר היא תלויה רק במידע מההווה כלומר עבור מערכת LI זה. K כלשהו). ולפיכך K (עבור h Kδ טריוויאלי [ ] [ ] [ ] [ ] () K(). ולפיכך h במקרה של מערכת רציפה נקבל כמובן בהתאמה ( ( ( Kδ( הפיכות של מערכת LI אם מערכת LI היא הפיכה הרי קיימת מערכת LI אחרת כך שאם הפלט של הראשונה הוא הקלט של הראשונה הרי הפלט של השניה הוא הקלט של הראשונה כמובן. לכן הקונבולוציה של ה mpuls rsposs של שתי הפונקציות הוא פונקצית הלם. כלומר h' () אם למערכת יש תגובת הלם של. h * h' δ ( )h הרי היא הפיכה אם קיימת פונקציה המקיימת () () ( ) למשל לפי הדוגמא של :O&W&N נתונה מערכת LI אשר מזיזה את הפולס בזמן ולכן תגובת ההלם שלה () ()( τ δ τ ) dτ ( ) () δ( ) ( + כי (נזכיר h היא אם כך ברור שהמערכת ההפוכה שתחזיר את הפולס למצבו הראשוני תהיה בעלת תגובת הלם של h ' δ + ואכן שתי תגובות ההלם מקיימות: dτh () ( ) () τ h' ( τ) dτδ( τ )( δ τ + ) δ() סיבתיות במערכת LI כי היות ומערכת היא סיבתית כאשר הפלט שלה אינו תלוי בעתיד של הקלט (אלא רק בעבר או בהווה) נובע מ עבור < h ( ) () () τ h( τ)τ d ( ) ( τ) h( τ) dτ ( τ) h( τ) dτ או בכתיבה שונה 3

31 . () < C ( ) < B יציבות של מערכת LI נזכיר כי מערכת היא יציבה אם לכל סיגנל חסום בכניסה סיגנל הפלט גם כן חסום () dτh()( τ τ) dτ h() τ ( τ) B dτ h() τ d τ h () τ < לכן מערכת היא יציבה אם הערך המוחלט של תגובת ההלם שלה הוא אינטגרבילי 3

32 פירוק לטור פוריה של סיגנלים (אותות) מחזוריים מוטיבציה אחת מהתכונות החשובות ביותר של מערכות LI היא שהן מגיבות בצורה מאוד פשוטה לאותות אקספוננציאלים מרוכבים (כלומר אקספוננטים ופונקציות טריגונומטריות). למעשה הן רק מכפילות אותות אלו במספרים מרוכבים (כלומר משנים גודל ומוסיפים\גורעים פזה). משום כך יש חשיבות רבה לפרק אות כלשהו לפונקציות אקספוננציאלות מרוכבות (קומפלקסיות). קל להראות את המעמד המיוחד שיש לפונקציות המעריכיות (הרקספוננציאליות) המרוכבות במערכות. LI נראה להלן שהן אכן פונקציות עצמיות של מערכות אלו (כלומר המערכת לא משנה אותם רק מכפילה אותן בקבוע קומפלקסי) נאמר שנתונה מערכת LI אשר פונקצית התגובה שלה להלם היא () הוא לכל אות כניסה כעת נראה מה קורה אם פונקצית הכניסה למערכת היא מעריכית מרוכבת כלומר ()h. משום כך הרי התגובה של המערכת () ()( τ h τ) dτ h()( τ τ)τ d s ) הוא פרמטר מרוכב) s () s( τ) s sτ () h()( τ τ) dτ h() τ dτ h() τ dτ s () H () s τ () () τ s s h dτ כאשר H הוא קבוע מרוכב (קומפלקסי) וכאן למעשה הוכחנו כי פונקציות מעריכיות הן הפונקציות העצמיות של מערכת LI (הן לא משנות אותן רק מכפילות אותן בקבוע). באופן דומה ניתן להראות זאת למערכות בדידות. רק שבמערכות בדידות נהוג לכתוב אותן בצורה כאשר z הוא מספר מרוכב. שימו לב שיכולנו לרשום אותן גם כפונקציות מעריכיות רגילות l z z אך אנו נשתמש בצורה הנפוצה יותר. [] z [] ( ) 3

33 z [ ]h נוכל לרשום את התגובה ל [] [][ h ] [ ][] h z h[] z z h[] [] H ( z) z z ואז למערכת בעלת פונקצית תגובה להלם שוב קיבלנו כי התגובה של המערכת לפונקצית כניסה כאשר הוא קבוע מרוכב התלוי ב היא z ובתכונות המערכת. ( z) z h[] H ( z) z h[] דהיינו z היא פונקציה עצמית עם הערכך העצמי היתה פונקציה עצמית עם הערך העצמי H בדיוק כמו שבמקרה הרציף. H τ () () τ s s h dτ s () פירוק פוריה π / אם נתון אות מחזורי בעל מחזור נוכל להגדיר את התדירות (הזוויתית) הבסיסית ואז נוכל לכתוב את האות המחזורי כסכום של הפונקציות המחזוריות: φ ( π / ) () ± ± K ( π / ) () כלומר דרך נוספת לרשום את אותו הסכום היא באמצעות פונקציות טריגונומטריות. () נניח כי הוא ממשי לכן הוא שווה לצמוד של עצמו: () * מצד שני ניתן להחליף (כיוון שהסכום הוא ממילא ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף) ולקבל: ב () * * * אם נשווה את המקדמים בין שני הביטויים האחרונים נקבל כי לאות ממשי מתקיים או: 33

34 () + [ ] + () + [ ] * + () + R{ } A θ כעת נכתוב מחדש את הטור באופן הבא (בשלב זה רק סידרנו אותו מחדש) כלומר בסך הכל הכנסנו את הערכים השליליים לאותו סכום. * כעת נשתמש בידע שלנו על סיגנלים ממשיים ) ): כיוון ששני האיברים הם צמודים אחד לשני נוכל הרי סכומם הוא פעמיים החלק הממשי: כעת יש באפשרותנו שתי אפשרויות לכתוב את ואז. האחת היא בצורה פולרית (גודל ופזה) { } ( +θ ) () + R A () + A ( + θ ) cos כלומר דרך נוספת ידועה לפירוק פוריה היא ע"י כתיבת בצורה קרטזית: B + C ( ) + [ B cos( ) C ( ) ] s במקרה זה הפירוק יראה: שימו לב כי בשני המקרים נשארנו עם שני פרמטרים לכל תדירות. זו דרך אגב הצורה המקורית בה השתמש פוריה. קביעת המקדמים לטור פוריה עבור אות רציף ומחזורי אנו כעת מחפשים את המקדמים אשר יקימו: ( π / ) () כלשהו. כדי לעשות זאת נכפיל את שני האגפים ב עבור מספר 34

35 () כעת נבצע אינטגרל על שני האגפים על זמן מחזור (חשוב להבין שזה לא משנה באיזה זמן תתחיל. π האינטגרציה אבל לשם נוחות נתחיל בזמן ) שכזכור: / () d ( ) () d d d באגף ימין נחליף את סדר פעולות האינטגרציה והסכימה לקבל: ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) כעת נחשב את האינטגרל בסוגריים המרובעים: π כעת נציב / ונקבל: ( ) π ( ) d ( ) π הביטוי הזה הוא בוודאי שווה לאפס כאשר אבל מה קורה כאשר? גם המונה וגם המכנה מתאפסים! אפשרות אחת היא לבדוק את הגבול. כעת ניתן להשתמש במישפט לופיטל ולגזור מונה ומכנה לפי ולקבל שהאינטגרל שווה ל. אבל דרך יותר פשוטה היא פשוט לבצע את ההצבה או בתוך האינטגרנד. כלומר כאשר הרי אין צורך לחשב אינטגרל מסובך יש פשוט לחשב את ( ) d. נסכם: ( ) d d האינטגרל: מכאן מקבלים את נוסחת הפירוק: () d 35

36 נסכם: ( π / ) () ( π / ) () d () d. כלומר. באמצע זמן זה ישנו סיגנל ריבועי שמשכו דוגמא: נדמיין לעצמנו סיגנל מחזורי בעל מחזור של () < / < < / / למה שווים המקדמים שלו בטור פוריה? / () d / / / d / / כלומר / / ( / ) s( / ) s. π את השיוויון האחרון קיבלנו מהגדרת / זה הכל טוב ויפה אבל מה קורה עבור? גם פה נוכל לקחת את הגבול של המונה והמכנה (כי שניהם מתאפסים בגבול ( או שפשוט נציב כבר באינטגרנד. שתי הדרכים יובילו ל: / d / π נראה כיצד להציג זאת במטלב. נוסיף בכל שלב עוד רכיבים לטור פורייה ונראה כיצד הטור מתכנס לגל המרובע המקורי: 36

37 N N () N3 5 5 N () N5 5 5 N () N N () מספר האיברים מסומן ע"י ה N כך שהם נעים מ N עד. N לכן כאשר N מדובר בשלושה רכיבים 3N מדובר בשבעה וכו'. גרף זה התקבל ע"י התוכנית: %% Fourr srs for rcgulr sgl -fourr_rc ; 4; -/:/:/; Sbs()</; S[S S S]; ([:lgh(s)]-lgh(s)/)*3*/lgh(s); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 37

38 NR[ ]; Nmlgh(NR); for N:Nm NNR(N); szros(sz()); for [-N:N]+ps s(*p*/)//p; ss+*p(**p**/); d subplo(nmn); plo(s'b's'r'); l(['n' umsr(n)]); lbl('_n()'); d lbl(''); בתוכנית זו בצענו כמה "טריקים". למשל כדי להימנע מלחשב עבור רכיב האפס באופן עצמאי הוספנו ps למספר. עבור שונים מאפס לא נרגיש זאת שכן מספר זה זעום. 6- ועבור נקבל למעשה את רכיב הגבול בקירוב מצויין. אלא מה? כתוצאה מטריק זה מתקבל בחישוב תרומה קטנה של מספר מדומה המחשב אומנם יתריע על כך אך אנו נתעלם מזה בשלב זה. בגרפים אלו ניתן לראות את מה שמכונה תופעת גיבס phomo) :(Gbbs ההתכנסות לפיתרון מוזרה במקצת. בנקודות של חוסר רציפות ערך ההתכנסות הוא הממוצע של הערך לפני ואחרי אי-הרציפות. שימו- לב נוצרים ריפלים שגובהם לא קטן אבל שטחם כן! היות והאנרגיה מתכונתית לשטח הרי השטח הוא מה שחשוב. כלומר באיזורים בהם יש אי-התאמה אין אנרגיה. 38

39 .5 N.5 N3 N ().5 N () N N55.5 N ().5 N () בעזרת תוכנית דומה %% Fourr srs for rcgulr sgl -fourr_rc ; 4; -/:/:/; Sbs()</; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% NR[ ]; Nmlgh(NR); for N:Nm NNR(N); szros(sz()); for [-N:N]+ps s(*p*/)//p; ss+*p(**p**/); d subplo(sqr(nm)sqr(nm)n); plo(s'b's'r'); l(['n' umsr(n)]); lbl('');lbl('_n()'); d 39

40 טרנספורם פורייה ראינו כי המקדמים של טור פורייה עבור אות מרובע () < / < < / / הם ( / ) s( / ) s π π כאשר / ( π / ) () ואז הסיגנל יקיים כזכור הרי הפונקציה. לכן אם נסמן כל אחד מרכיבי הטור מתייחס לתדירות s( / ) מתארת את מעטפת הסיגנל. ככל שניקח זמני מחזור יותר ארוכים המעטפת תתמלא ביותר ויותר תדרים. כפי שניתן לראות בשרטוט הבא: 4

41 %% dscr_co ; R[3 6 ]; J3; for j:j R(j); w*p/; K*3; [-K::K]; w*w+ps; *s(w*/)./w; שבוצע בעזרת התוכנית 4

42 subplo(3j); sm(w) l(['' umsr()]); d lbl('\omg'); כפי שניתן לראות המעטפת לא משתנה. ככל שאנו מגדילים את זמן המחזור צפיפות התדירויות שמשתתפות בטור גדלה. ברור לכן שאם אנו רוצים לעסוק בסיגנל לא מחזורי (שאומר זמן מחזור אינסופי) הרי הצפיפות תהיה כה גדולה שהספקטרום של הסיגנל יראה רציף כלומר במקום סכימה על טור אינסופי נקבל אינטגרל. ( π / ) () כלומר במקום הקשר הרלוונטי לטורים (טורי פורייה) ( π / ) () d () d ברור שכאשר האינטגרל לא מחזורי ולכן באינטגרל בנוסחה השניה הגבולות הם ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף. כמו כן מקובל לעבור למעטפת של הספקטרום כלומר ל X ( ) X ( ) הרי (חשוב להבין שכאשר נעבור למשתנה אבל המכפלה מתכנסת לערך סופי.) () X ( ) d / כשמשתנה התדר רציף אז נוכל לעבור לאינטגרל עם π כלומר π () X ( ) X d ( ) ( ) d 4

43 התכנסות של טרנספורם פורייה X ( ) ( ) נשאלת השאלה : מתי טרנספורם פוריה קיים או במילים אחרות מתי האינטגרל d מתכנס? את התשובה לכך ניסח דיריכלה (Drchl) בשלושת תנאיו codos) (Drchl s. הערך המוחלט של הסיגנל הוא אינטגרבילי דהיינו () d < () () יש מספר סופי של מינימה ומקסימה בכל תחום סופי. יש מספר סופי של אי-רציפויות בכל תחום סופי וכל אחת מאי-הרציפויות היא סופית.. לסיגנל 3. לסיגנל אם שלושת התנאים האלו מתקיימים חזקה על הטרנספורם שהוא קיים. טרנספורם פוריה של סיגנל מחזורי הטרנספורם פוריה של סיגנל מחזורי מחזיר אותנו למעשה לטור פוריה. נניח שידוע לנו שהסיגנל ( ) הוא מחזורי עם זמן מחזור של. במקרה זה נוכל לרשום אותו כטור אינסופי של אותות מחזוריים (זה מה שלמדנו בפרק על טורי פוריה). דהיינו () p ( ) π כאשר / הטרנספורם שלו הוא ( ) π δ( ) X () ( ) למי שלא רואה זאת כדאי לבצע את הטרנספורם ההפוך על X ולקבל את בקלות. כלומר קיבלנו שהטרנספורם פוריה של אות או פונקציה מחזוריים הוא למעשה סכום של הלמים (פונקציות דלתא) כאשר המעטפת שלהם היא הטרנספורם של אותו אות אך בעל מחזור אינסופי. תכונות של טרנספורם פוריה: 43

44 ( ) F{ ( ) } Y לינאריות ( ) F{ ( ) } אם X ו אזי ( ) + by ( ) F{ ( ) b( ) } X + ( ) F{ ( )} X הזזה בזמן shfg) (m ( ) F{ ( ) } אם X אזי X ( ). p כלומר היא ( ) ( ) d תגרום לטרנספורם מכפלה באקספוננט מדומה כלומר הזזת הסיגנל בזמן משנה רק את הפזה שלו ולא את האמפליטודה. נוכיח. אם: הרי ( ) ( ) ( τ) τ+ τ τ () τ d d dτ X ( ) מש"ל. X * צימוד מרוכב ( ) F{ ( ) } X { } * ( ) F ( ) אם אזי אם נראה זאת X * () * d () d X ( ) ( יוצא (ע"י השוואת הטרנספורמים של * ( ) X ( ) * * ( ) ( ) ( ) כמובן. מכאן ברור כי אם האות שניהם) כי הוא ממשי (דהיינו 44

45 תוכרעמו תותוא תונרג לארא 45 םימרופסנרטל תואמגוד : 'סמ אמגוד לש םרופסנרט ( ) ( ) { } R > u. ( ) () () ( ) ( ) d d u d X : 'סמ אמגוד לש םרופסנרט ( ) { } R > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d X :3 'סמ אמגוד לש םרופסנרט ( ) ( ) [ ] / p τ. ( ) ( ) ( ) τ d d X / :טננופסקאב יוטיבב תעכ טיבנ τ ותרסחהו יוטיב תפסוה י"ע עובירל ותוא םילשנ ( ) ( ) 4 τ τ + τ τ + τ τ ןכל ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τ π τ τ + τ τ τ τ + τ τ 4 p p 4 p 4 p / d d d d X

46 . דוגמא מס' :4 טרנספורם של ) ( כלומר אנחנו מחפשים את X d? ( ) ( ) d N כדי לחשב זאת נבצע את האינטגרל עד גבול סופי N ונשאיף אותו לאינסוף. כלומר: ( N ) s X ( ) lm d lm N N N קיבלנו פונקציה מוכרת אבל למה היא שווה כאשר N. כדי לענות עליה נשים לב כי עבור ערכה N שואף לאינסוף. כמו כן היא מתאפסת לראשונה בערכים π± / N דהיינו כאשר N היא מתאפשת בכל הנקודות עבורן. כלומר הפונקציה צרה וגבוהה ראו גרף. X ()s()/ 5 X () π אבל בנוסף יש לפונקציה זו תכונה מאוד חשובה: האינטגרל עליה שווה בדיוק ל ( N ) s( N ) s X ( ) d lm d lm d N N N N ( N ) lm( π) π כלומר קיבלנו פונקציה שהיא מתאפסת בכל התדרים פרט ל ובנקודה זו היא מקבלת ערך אינסופי! X πδ ובנוסף האינטגרל עליה הוא קבוע. π משמע קיבלנו את הפונקציה ( ) ( ) 46

47 X שימו לב בעזרת הנוסחה של הטרנספורם ההפוך יכולנו בקלות לנחש פיתרון: ( ( ) πδ( כי π π () X ( ) d πδ( ) d δ( ) d X sg sg ( ) sg ( ) d? () lmsg( α) ( α ) α α α < > ( ) sg( ) דוגמא מס' 5: טרנספורם של. <. sg() זו פונקצית הסיגנום המוגדרת > שימו לב כי האינטגרל בעזרתו נחשב את הטרנספורם שלה לא מוגדר היטב. שוב נשתמש בטריק הגבול ונרשום את פונקצית הסיגנום בצורה כאשר sg(α) α.3 α. α כפי שניתן לראות מהגרף ככל ש α הפונקציה דומה יותר ויותר לפונקצית הסיגנום <. sg() > 47

48 X lm ( ) ( ) ( α ) sg d lmsg d lm sg( α ) α α ( ) d + lm α α α d lm + α α α + α d כאן חשוב להדגיש כי למרות שהגענו לתשובה נכונה התעלמנו בדרך מנקודה קטנה שיכלה להיות בת משמעות. כשהחלפנו את הגבול עם האינטגרל לא הבחנו בכך כי החלפה כזו לא אפשרית כאשר הגבול אינו מוגדר היטב. לשם כך רק את הנקודה הזו נחשב באופן עצמאי: כי אז X N N N כלומר קיבלנו שבנקודת האפס הטרנספורם פשוט מתאפס. אבל זה כלל לא מפתיע: שימו לב כי תמיד ( ) sg( ) d d + d lm d + d. X כלומר נקודת האפס של הטרנספורם שווה לאינטגרל על פני כל המרחב. משום כך אם. X ( ) ( ) ( ) d הממוצע על הסיגנל מתאפס (כמו במקרה שלנו) תמיד נקבל : ( ) u( ) דוגמה מס' 6: הטרנספורם של ניתן לבצע את החישוב בצורה דומה לדרך בה ביצענו את הטרנספורם של פונקצית הסיגנום אלא שהפעם יש להיזהר שבעתיים לגבי תדר האפס בטרנספורם (. X ( אפשר לעומת זאת לנוע על קרקע בטוחה אם זוכרים כי u () [ sg () +] / ולכן הטרנספורם הוא מיידי X ( ) [ () + ] sg d + πδ( ) ( X אזי למה שווה הטרנספורם של אותו ( ) ( ). F d { ( ) }? מעניין ובכלל לא טריביאלי! כיול (sclg) ( ) F{ ( ) } אם X (במילים אחרות סיגנל רק עם כיול שונה של הזמן כלומר תשובה: לפי הגדרת הטרנספורם 48

49 F { ( ) } ( ) d נבצע החלפת משתנים τ ונקבל: F F { ( ) } ( / ) () τ τ ( / ) () τ ( ) { ( ) } () τ dτ τ dτ / τ dτ > < X לכן הערה : לנוסחה זו יש חשיבות רבה מעבר לתחום הישומי. כזכור ברגע שהכפלנו את משתנה הזמן בקבוע הרי בצענו כיווץ או מתיחה של הסיגנל. שימו לב כי בנוסחה זו בזמן שאנו מכפילים את הזמן בקבוע הרי אנו מחלקים את התדר באותו קבוע. מכאן ברור כי כיווץ הסיגנל בזמן יגרור למתיחה של הטרנספורם שלו בתדר! והפוך מתיחה של האות בתחום הזמן גוררת כיווץ של הטרנספורם שלו בתחום התדר! תופעה זו מקשרת אותנו באופן אינטואיטיבי לעקרון אי-הוודאות שלמעשה אומר כי לא ניתן לכווץ את הסיגנל בתחום התדר ואת הטרנספורם שלו בתחום הזמן בו זמנית. כל שינוי של אחד מהם (הסיגנל או הטרנספורם) יגרור תגובה הפוכה במשלים שלו. F ( ) ( + ) { } d d + p. p( ) ( ) d + + דוגמא: נחשב את הטרנספורם של תחילה נחשב את הטרנספורם של F { } + ( / ) + ומכאן ברור כי 49

50 משפט פרסבל Rlo) (Prsvl s משפט פרסבל מורה על הקשר הפשוט אך החשוב הבא: d π () d X ( ) הוכחת המשפט היא פשוטה: d * * () () () d () dx ( ) d π נשחלף את סדר האינטגרלים d π () ( ) * ( ) L X d d ) ( דהיינו: והרי מה שנמצא בתוך הסוגריים הוא הטרנספורם של d π * () dx ( ) X ( ) d X ( ) π מש"ל. מה שמשפט פרסבל אומר במילים הוא שעל מנת לקבוע את האנרגיה הכללית של הפולס ניתן לחשב את האנרגיה ליחידת זמן של הפולס (ההספק הרגעי ( ( ) ולבצע אינטגרציה בזמן או לחשב את האנרגיה π X ( ) ולבצע אינטגרציה על כל התדרים. משום כך מכנים את או בקיצור הספקטרום של בשם: E הרי X אחרת d. () () < ( ±) ( ) X ( ) ליחידת תדר π צפיפות האנרגיה הספקטרלית של הסיגנל שימו לב כי ממשפט זה נובע כי אם האנרגיה של אות היא סופית כלומר מסתבר כי הספקטרום שלו חייב לדעוך לאפס כאשר כלומר. E d () < לא יתכנס וזה בניגוד למשפט פרסבל ולעובדה ש d האינטגרל ) X ( π יחד עם זאת חשוב להבין שההפך הוא לאו דווקא נכון. יתכן סיגנל שהאנרגיה שלו היא אינסופית אבל הטרנספורם שלו כן דועך לאפס בתדרים גבוהים. למשל האות הקבוע () C הרי הטרנספורם שלו הוא. X πcδ כלומר הוא כמובן מתאפס עבור תדרים גבוהים אבל הוא אינסופי בתדר האפס. כידוע ( ) ( ) עבור אות מחזורי משפט פרסבל () d לכן היא כמות האנרגיה הנמצאת בהרמוניה.( (כלומר בתדר 5

51 דואליות כשמביטים במשוואות של הטרנספורם והטרנספורם ההפוך רואים כי משוואות אלו מאוד דומות. למעשה כדי לעבור מאחת לשניה יש להפוך את הסימן ולחלק\להכפיל ב. π. F X π אזי X או בכתיבה מתמטית: אם F { ( )} ( ) ( ) { ( )} X ( ) ( ) d d? X ( ) ( ) p? ( ) p( ) לדוגמא: למה שווה הטרנספורם של כלומר אנו מחפשים למה שווה האינטגרל ( ) δ( ) תשובה: נזכר כי הטרנספורם של X והרי ממשוואת הטרנספורם d π הוא נובע כי נקבל () ( ) אם נחליף את המשתנים. δ כל מה שנותר כדי לקבל את האינטגרל הרצוי הוא להפוך סימן:. πδ כלומר הטרנספורם ( ) d : מקבלים π δ π ( ) π ( ) ולהכפיל את שני האגפים ב ( ). πδ d d המבוקש הוא משפט הקונבולוציה אחד המשפטים החשובים ביותר בנושא של טרנספורם פוריה הוא משפט הקונבולוציה. כפי שראינו קודם אם ידועה לנו תגובת המערכת לפונקצית הלם h הרי תגובת המערכת לסיגנל כללי היא הקונבולוציה Y () ( ) () h() () dτh( τ) ( τ). * מכאן נשאלת השאלה המיידית: למה שווה טרנספורם פוריה של הקונבולוציה הזאת? או בכלל למה שווה טרנספורם פוריה של קונבולוציה כלשהי? חישוב הטרנספורם הוא כמובן ( ) F{ ( ) } dτh( τ)() τ d נחליף סדר אינטגרלים 5

52 ( τ) ( τ) dτ ( τ) dh( τ) dτ dh כיוון שהאינטגרל הפנימי הוא בסך הכל טרנספורם של סיגנל מוזז ולכן שווה לטרנספורם כפול אקספוננט (כפי שלמדנו) dh ( ) ( τ) τ ( τ) τ τ dh H ( ) Y ( ) ( τ) τ H ( ) dτ H ( ) X ( ) הרי כלומר גילינו תגלית מרעישה: טרנספורם פוריה של קונבולוציה של שני סיגנלים שווה למכפלת טרנספורמי פוריה של שני הסיגנלים או בצורה מתמטית: { h() * () } F{ h( ) } F{ ( ) } F Y ( ) H ( ) X ( ) או בכתיבה אחרת: אם h * ) ( () () אז 5

53 משפט המכפלה מתכונת הדואליות וממשפט הקונבולוציה אין פלא שניתן לנסח את המשפט ההפוך: הטרנספורם של מכפלת אותות הוא קונבולוציה של שני הטרנספורמים לחלק ל. π כלומר בהינתן שני אותות s p והמכפלה שלהם. r s p הרי מתקיים () ( ) ( ) ( ) ( ) R * π π ( ) S( ) P( ( ) ) d S P () s () s( / ) π דוגמא: מצאו את טרנספורם פוריה של האות (לקוח מ :(OWN () X s π π () s( / ) π ( ) rc ( ) * rc ( ) dθrc ( θ) rc ( θ) תשובה נרשום אותו באופן הבא: מכאן ברור כי הטרנספורם הוא קונבולוציה. I hs fgur rc (θ) rc (-θ) θ X ( ) 3/ / 3/ נקבל: < < 3/ / 53

54 ..8 X() נגזרת כפי שהסברנו קודם טרנספורם פורייה (ופירוק פורייה) מאוד עוזר לנו כשאנו עוסקים במערכות לינאריות שאינן משתנות בזמן. נגזרות ואינטגרלים הם דוגמא למערכות כאלו. אם למשל נגזור סיגנל כלשהו ובו זמנית נגזור את הצגתו כטרנספורם נקבל: π () X ( ) d () d d π ( ) X d כלומר גילינו מייד כי הטרנספורם של נגזרת של אות הוא הטרנספורם של אותו אות מוכפל ב. כלומר X ( ) () d F d אינטגרל באופן דומה לגזירה ניתן לקבל ביטוי לטרנספורם של אינטגרל אלא שהפעם שוב יש להיזהר לגבי מה שקורה בתדר. מה עושים? פשוט זוכרים כי ( τ ) dτ ( τ) u( τ) dτ () * u() 54

55 כלומר האינטגרל של סיגנל מסויים ממינוס אינסוף ל הוא לא אחר מאשר הקונבולוציה של הסיגנל המקורי ()u והרי לטפל בקונבולוציה אנו יודעים! הטרנספורם של קונבולוציה הוא כזכור עם פונקצית מדרגה המכפלה של הטרנספורמים. F () τ dτ F{ () } F{ u( ) } X ( ) + πδ( ) כלומר X ( ) + πx ( ) δ( ) F ( τ) dτ האיבר הראשון מראה שזו אכן אינטגרציה (חילוק ב ( כי זו הפעולה ההפוכה להכפלה ב נגזרת. אבל אין באיבר זה לספק את קבוע האינטגרציה שנקבע ע"י האיבר השני. שנתנה לנו דוגמא: א. נחשב את הטרנספורם של האות הבא: () < < < ב. לחשב את הטרנספורם של האינטגרל שלו. z () ' () δ( ) δ() + δ( + ) תשובה: ניתן לחשב טרנספורם זה בשתי דרכים: דרך ראשונה בעזרת הידע שלנו על טרנספורם של אינטגרל. נשים לב לעובדה שהנגזרת של האות שלנו היא: Z ( ) () z d [ δ( ) δ() + δ( + ) ] + cos ( ) [ cos( ) ] X d כעת נשתמש בנוסחה: z τ dτ F{ } ( ) Z( ) + πz ( ) δ( ) F ( ) ( ) X ( ) Z( ) + πz ( ) δ( ) [ ( ) ] cos + πδ () z( τ) ונסיק כי הטרנספורם של dτ הוא ( ) [ ( ) ] s ( / ) cos 4 55

56 X אפשרות שניה היא לחשב את הטרנספורם במישרין: ( ) ( ) d d d d d s( ) [ cos( ) ] ( r נשתמש שוב () [ cos( ) ] ( ) d ולמעשה קיבלנו אותה תוצאה. ב. על מנת לחשב את האינטגרל של בנוסחה (שימו לב כי האינטגרל הוא פשוט X ונקבל כי הוא פשוט: ( ) + πx ( ) δ( ) F ( τ) dτ () d שימו לב כי גם הפעם ) ( X וזה מורה כי (למה?) טבלת טרנספורמים בסיסיים () סיגנל ( ) ( ) ( ) π δ( ) cos( ) π [ δ( ) + δ( + )] s( ) π[ δ( ) δ( + )] < / () / < < / גל מרובע מחזורי + ( ) ( ) X טרנספורם פוריה מקדמי טור פוריה עבור אות מחזורי πδ πδ / ± / / ohrws s / π s( / ) ( ) δ ( ) 56

57 π δ( ) π δ / < / s( / ) - () / < פולס מרובע יחיד s( Ω) < Ω - π X ( ) > Ω ( ) δ - δ () - u () u u () R{} > () R{} >! + πδ( ) ( + ) u() R{} > ( ) ( + ) d X ( ) () d () τ dτ ( ) X + πx ( ) δ( ) d d () + b () () פתרון משוואות דיפרנציאליות בעזרת טרנספורם פוריה נתחיל בדוגמא: כיצד נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה: כיוון שמשוואה זו מתארת למעשה מערכת LI יש טעם לבצע עליה טרנספורם פוריה Y ( ) + by ( ) X ( ) Y ( ) H ( ) X ( ) כלומר 57

58 H ( ) + b כאשר לכן הוא הטרנספורם של פונקצית ההענות (התגובה) של המערכת להלם. h b () u() b( τ) b bτ () h() () dτu( τ) () τ dτ () τ * ואז הפיתרון הוא פשוט הקונבולוציה כמובן זהו רק הפיתרון המסויים ויש לצרף לו את הפיתרונות ההומוגניים. כלומר ניתן להכליל זאת עבור כל משוואה דיפרנציאלית לינארית מהצורה d N d j M j () d () b j d j הרי ההענות הספקטרלית של המערכת הזו ) H ( H ( ) Y X ( ) ( ) M j N b j ( ) j ( ) דוגמא מורכבת יותר: d d () d() + 5 d + 6 () () d d + 4 () הרי H ( ) + 4 ( ) + 5( ) + 6 כיצד נמצא את המקור של הטרנספורם הזה? 58

59 נפרק אותו לרכיבים שאנו יודעים את הטרנספורם ההפוך שלהם. נשים לב לכך שאת המכנה נוכל לרשום כמכפלה של שני גורמים H ( ) ( ) + 5( ) + 6 ( + )( + 3) A + B B אנחנו מחפשים את המקדמים A ו ע"י השוואת הרכיבים הממשי והמדומה של המונה. כלומר: ( + 3) + B( + ) ( A + B) + ( 3A B) + 4 A + A + B 4 3A + B לכן: A B הפיתרון הוא פשוט: H ( ) לכן: h 3 3 () u() u() u()( ) ומכאן נובע כי: כך שהפעם הפיתרון יהיה בנוי מסכום של שני אינטגרלים: τ 3 3τ () h() * () dτ ( τ) dτ ( τ) פשוט. 59

60 X Y X ( ) ( ) X ( ) ספקטרום האמפליטודה והפזה של אות את הטרנספורם (או הספקטרום) של אות ניתן לפרק לאמפליטודה (הערך המוחלט) ופזה: כעת ניזכר כי במערכת LI הטרנספורם של המוצא הוא פשוט מכפלה של טרנספורם האות הנכנס מוכפל בטרנספורם של פונקצית ההענות: ( ) H ( ) X ( ) Y ( ) H ( ) X ( ) לכן הערכים המוחלטים הם פשוט מכפלה בעוד שהפזות מסתכמות: Y ( ) H ( ) + X ( ) () H ( ) ( ) H ( ) m Dl בהינתן מערכת בעל ספקטרום העברה (דהיינו כשחודר למערכת גל בכל בתדר : ) נשאלת השאלה הבאה. יוצא גל מוכפל ב : H כמה זמן לקח לאות לעבור את המערכת? מסתבר כי התשובה לשאלה זו אינה קלה כלל ולמעשה ניתן לענות עליה בכמה דרכים וניתן להראות שבאופן כללי היא אינה מוגדרת היטב. יחד עם זאת מקובל לענות על שאלה זו לפי הטיעון שנציג להלן. ( H ( ) H ( ). הוא (dl) משמע: הסיגנל זז אחורה בזמן ומשך העיכוב. ( ) ( ) ( ) H ( ) (כלומר ( ) ( ) כזכור אם נקבל הזזה בזמן θ אבל מה קורה כאשר הפזה של המערכת אינה לינארית בתדר כלומר כאשר? H ( הרי נוכל ובכן אם הרוחב הספקטרלי של הסיגנל הנכנס ( ) הוא מאוד צר סביב תדר נתון (נאמר לקרב את הפזה הלא לינארית לקירוב לינארי מסדר ראשון dθ H ( ) θ( ) θ ( ) φ α d כעת ניתן להעריך מייד את זמן העיכוב כשווה ל. α לכן אם נסמן את ה m dl באות τ הרי: τ d d ( ) { H ( ) }. h ( ) u( ) דוגמא: בהינתן מערכת שתגובת ההלם שלה היא: תשובה: חשבו את ה m-dl שלה לתדר נתון 6

61 H H ( ) + rc( / ) ( ) 4 + H ( ) H ( ) rc( / ) τ ( ) 4 + d H d ( ) + ( / ) לכן כלומר קיבלנו לורנציאן ככל שהתדר גבוה יותר כך זמן העיכוב קצר יותר. מסננים (פילטרים) מסנן תדרים גבוהים כלומר מעביר תדרים נמוכים בלבד flr) (lowpss אידאלי חוסם תדרים עד תדר : ( c נתון ) H ( ) > c c..8 X() / c כידוע תדובת ההלם של פילטר כזה היא h () c s π 6

62 .8 h() [us of c /π] c /π fgur() [-7:.:7]+ps; s(p*)./(p*); plo('lwdh'4) grd lbl('\omg_{c}/\p''fosz'6); lbl('h() [us of \omg_{c}/\p]''fosz'6) fgur() scumsum()*m(dff()); plo(s'''lwdh'4) grd lbl('\omg_{c}/\p''fosz'6); lbl('s()''fosz'6) s () dτh( τ) ובעזרת אותה תוכנית נקבל את תגובת הפילטר למדרגה 6

63 ..8.6 s() c /π כפי שניתן לראות הפילטר מרחיב את פולס ההלם החודר אליו ונוצרות תנודות במעבר. המעבר לא חד אלא. ראו גרף אדום c בעל שיפוע שהוא כמובן שווה ל / π.8 s() c /π וכמו כן הוא עובר את הערך (מגיע עד (.9 ויורד מתחת ל. ההתנהגות הזאת היא אחת הסיבות שלא תמיד מעוניינים בפילטרים אידאליים. סיבה נוספת היא המקרה שבו ספקטרומים עולים אחד על השני. במקרה זה רצוי שהמעבר ממצב "פילטר מעביר" למצב "פילטר חוסם" יהיה הדרגתי ולא מיידי. 63

64 ( ) h עבור < ולכן פילטר אידאלי הוא לא מערכת סיבתית ולכן לא בעייה נוספת היא שלא מתקיים יעבוד בזמן אמת. בעיה נוספת היא המורכבות והעלות הגבוהה ביצור פילטר אידאלי. מסיבות אלו ואחרות הפילטרים הנפוצים בעולם הם דווקא לא פילטרים אידאליים. תיאור סכמטי של ספקטרום של פילטר Lowpss לא אידאלי H ( ) + δ δ δ Pssbd rso Sopbd p s פרמטרים חשובים: זמן העליה (rsm) \ ירידה האם יש ריפלים (תנודות) ואם כן מה האמפליטודה שלהן (המשרעת) ומה התדירות? דגימה ומשפט נייקוויסט בהרבה מקרים במקום לדעת אות מסויים אנו דוגמים אותו בזמנים מסויימים בלבד. למשל אם סיגנל מסויים ( ) אנו דוגמים בתדר עם זמן מחזור הרי ניתן להגדיר אות דגימה כרכבת הלמים ואז תדירות הדגימה (הבסיסית) היא p () δ( ) s π / והסיגנל הדגום הוא 64

65 () () p() p אות מקורי פונקצית דגימה אות דגום p () ( )( δ ) R * π π P ( ) S( ) P( ( ) ) d S P π ( ) δ( ) s נקבל כי האות הדגום יראה בעזרת משפט המכפלה וכיוון שהטרנספורם של פונקצית הדגימה היא X p ( ) π δ( ) X (נזכיר: לאות מחזורי מתקיים כאשר במקרה שלנו ( ) X [ ( )] s ( / / δ () d לכן נקבל הקונבולוציה תיתן לנו: 65

66 כלומר הטרנספורם של הרכבת שלנו שווה לרכבת אינסופית של העתקים של הטרנספורם המקורי מוכפלים ב /. כמובן כדי שלא תהיה חפיפה חשוב שתדר הדגימה יהיה גדול מרוחב הפס הספקטרלי של האות הנדגם. P ( ) π במקרה כזה נצליח לשחזר את הספקטרום בדייקנות. s s X ( ) s s M M s > M אם לא תהיה חפיפה X p ( ) M M s s < M ואילו כאשר כן תהיה חפיפה X p ( ) M M s כך שלמעשה נקבל עיוות של ספקטרום האות. 66

67 מכאן נובע משפט הדגימה: () נקבע באופן הרי. > M () בעל רוחב ספקטרלי נתון. כלומר ) X ( עבור אם נתון אות.s π / כאשר s > M מדוייק ויחיד ע"י הדגימות שלו ) ( (כאשר ( ± ± K אם הדרך לשחזר את הסיגנל המקורי ( ) מהדגימות שלו ) ) הוא ליצור סיגנל הבנוי מרכבת הלמים ששטח M כל אחד כערך הדגימה להעביר אותו ב lowpss flr בעל הגברה שתדר הקיטעון שלה גדול מ אבל קטן מ. ( ). s M התוצאה שנקבל היא העתק מדוייק של הסיגנל המקורי אם נעביר את האות דרך פילטר בעל תגובת הלם ( )h :(LI הרי הסיגנל ביציאה מהפילטר יראה (כי הרי זו מערכת h () () h() r p * r () ( ) h( ) () s π ( ) c p () ( )( δ ) ואם נציב את כעת נציב את תגובת ההלם של פילטר אידאלי פילטר זה חוסם את תחום התדרים נקבל המגביר פי. < c r () ( ) s c π c [ c ( )] ( ) נקבל 67